الرياضيات في دقيقة: الأعداد المتسامية (والسياسة)

المقال عبارة عن مقدمة سريعة عن الأعداد المتسامية، اضافة إلى مسألة مشهورة تتعلق بها، وكيف أن الشخص الذي حلها أصبح ضحية للتوترات السياسية.

ما هي الأعداد المتسامية؟

يتم تعريف الأعداد المتسامية كنقيض للأعداد الجبرية: نقول أن عددا ما، جبري، إذا كان حلا لكثير حدود جميع معاملاته أعداد صحيحة.

مثل: 3x^{2}+2x+1=0 أو 5x^{5}+6x^{3}+7x+8=0.

وهكذا، على سبيل المثال، العدد 2 جبري لأنه حل للمعادلة x-2 = 0. بنفس الطريقة، أي عدد صحيح أو أي عدد كسري (نسبي) هو أيضا جبري: \frac{1}{2}، مثلا، هو حل 2x-1 = 0. مثال آخر عن عدد جبري هو \sqrt {2}: حل المعادلة x^2-2 = 0.

فيردينوند فون ليندمان

أي عدد غير جبري يُدعى متسامِ. وبما أن كل عدد نسبي جبري، فإن كل عدد متسامِ هو بالضرورة غير نسبي (غير كسري). لكن ليس كل عدد غير نسبي هو عدد متسام: خذ \sqrt {2} على سبيل المثال (راجع الرياضيات في دقيقة: الجذر التربيعي للعدد 2 غير كسري).

أشهر عدد متسام على الغالب هو \pi (كذلك e). حتى قبل أن يُبرهَن أن \pi متسام، كان لدى علماء الرياضيات منذ زمن طويل شك دائم أنه مختلف نوعا ما عن باق الأعداد التي صادفتهم. كان معروفا بشكل مؤكد أن \pi غير نسبي، لكن غرابته كعدد تبدو أكثر من ذلك.

على الرغم من واقع أن مفهومي الأعداد الجبرية والمتسامية قد تم تحديده لأول مرة من طرف ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر، إلا أن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان لم يُبرهن إلا في عام 1882 أن \pi في الحقيقة متسام. فضلا عن البرهان القاطع أنه من غير الممكن تربيع الدائرة (اقرأ المزيد هــنــا)، هذا يفسر أيضا لما يبدو \pi مختلفا عن الأعداد الأخرى: لأنه لا يمكننا كتابة معادلات بحيث تكون الأعداد المتسامية حلولا لها، ولأن الأعداد المتسامية يصعب “الحصول عليها” من تلك الجبرية. خلاصة الأمر، معادلة عدد ما تزودنا بعملية محدودة يمكننا من خلالها بناء ذلك العدد، في حالة الأعداد المتسامية، ليس لدينا مثل هذه العملية.

مسألة هيلبرت السابعة.

في نهاية القرن التاسع عشر، كان \pi واحدا من الأمثلة القليلة جدا عن الأعداد المتسامية المعروفة آنذاك. ومن ثمَ أدرك علماء الرياضيات أن هناك في الواقع عددا كبيرا جدا من الأعداد المتسامية يفوق تلك الجبرية: الأعداد المتسامية لا حصر لها ولانهائية، في حين أن الأعداد الجبرية قابلة للعَد (راجع الرياضيات في دقيقة: عَـد الأعداد). هناك حاجة للمزيد من النماذج عن الأعداد المتسامية. في الواقع، ما سيكون مفيدا أكثر هو ابتكار طريقة جديدة لبناء نماذج من الأعداد المتسامية. أخذ عالم الرياضيات الألماني المحترم ديفيد هيلبرت في الحسبان هذه الحاجة عندما عرض في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات (ICM) في سنة 1900 قائمة من المسائل (المشهورة حاليا) التي اعتقد أنه من الواجب معالجتها من طرف علماء الرياضيات في العقود القادمة. كان العثور على طريقة لبناء الأعداد المتسامية هي المسألة السابعة في هذه القائمة.

كان لدى هيلبرت حدسية لكيفية حل هذه المسألة السابعة. لنفرض أن a عدد جبري مختلف عن 0 أو 1 (لتجنب الحالات المُهملة) ونفرض أن b عدد جبري غير نسبي، وعلى نفس منوال حدسية مماثلة وضعها أويلر (حيث افترض أن يكون a مجرد عدد نسبي)، خمّـن هيلبرت أنه وفي هذه الحالة a^ b عدد متسام بالضرورة. كانت مسألته السابعة في العثور على برهان قاطع على ذلك. إذا تم اثبات أن ذلك صحيح، فإن 2^{\sqrt{2}}، على سبيل المثال، سيكون عددا متساميا، بصرف النظر عن حقيقة أنه لا العدد 2 ولا \sqrt {2} هما في حد ذاتهما متساميان. وبالتالي، سيكون أخيرا لدى علماء الرياضيات وسيلة لبناء المزيد من الأعداد المتسامية من اللبنات المعروفة أفضل (أي، الأعداد الجبرية).

كان عالم الرياضيات الروسي ألكسندر غيلفوند (A. O. Gel’fond) الشخص الذي قدم أخيرا برهانا قاطعا على المسألة السابعة. مدفوعا ببرهان زميله الروسي روديون كيزمن (Rodion Kuzmin) سنة 1930، بأن 2^{\sqrt{2}} في الواقع عدد متسام، أخذ غيلفونيد في اعتباره الحالة العامة. نشر حلا كاملا في سنة 1934.

لما السياسة؟

ألكسندر غيلفوند

برهان على مثل هذه الحدسية الهامة عادةً ما يمنح صاحبه مكانة مرموقة في الرياضيات الدولية. لكن غيلفوند أصبح ضحية للتوترات السياسية. فقد تمت دعوته لعرض برهانه في المؤتمر الدولي للرياضيات في أوسلو عام 1936. لكن هذا المؤتمر الخاص، أثبت وجود بوتقة تنصهر فيها أجندات مختلفة. في الوقت الذي تحول بالقوة فيه علماء الرياضيات من ألمانيا بقيادة النازية إلى عرض أفضل ما في “الرياضيات الآرية”، كان غياب الوفد السوفياتي واضحا. في جو نظرت فيه السلطات السوفياتية بشك متزايد للروابط الخارجية المتنامية للعلماء. رفضت السماح بالسفر لكل المندوبين المتوقعين من الاتحاد السوفياتي، بمن فيهم غيلفوند. وكان على علماء الرياضيات في العالم أن يكتفوا بقراءة محتوى حل غيلفوند لمسألة هيلبرت (تم نشره بالفرنسية)، بدلا من رؤيته مقدما على السبورة من طرف صاحبه.

تمكن غيلفوند من حضور مؤتمر الرياضيات الدولي، أخيرا، عام 1966 عندما عُقد في مسقط رأسه في موسكو. على الرغم مما اتضح أنه لم يقم بالقاء محاضرة. على حد علمنا، كان هذا مؤتمر الرياضيات الدولي الوحيد الذي حضره. حضر المؤتمر قطعا عدد صغير من علماء الرياضيات الذين كانوا في أوسلو قبل ثلاثين عاما، لكن لا يمكننا سوى التخمين في التفاعلات التي نتجت عندما تمكنوا أخيرا من الالتقاء بغيلفوند في موسكو. من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن حل تعميم مسألة هيلبرت السابعة، الذي يُدعى أحيانا حدسية غيلفوند، قد فاز بميدالية فيلدز، وهي واحدة من أعرق الجوائز في الرياضيات، لعالم الرياضيات الانجليزي آلان باكر في مؤتمر الرياضيات الدولي عام 1970 في نيس بفرنسا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Transcendental numbers (and politics)

 August 31, 2018

——————

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

Advertisements
نُشِرت في الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: جداول الحقيقة.

المقال مدخل لآداة لا غنى عنها في المنطق الرياضياتي. كل عبارة في المنطق الرياضياتي القياسي- “القطة بيضاء”، “الكلب أسود”، “أنا جائع”- تُعتبر إما صحيحة أو خاطئة. في ضوء العبارتين P و Q، يمكنك تركيب عبارات أكثر تعقيدا باستخدام الروابط المنطقية مثل AND (وَ) و OR (أو).

على سبيل المثال، تعتبر العبارة P AND Q (مثل “القطة بيضاء والكلب أسود”) صحيحة فقط إذا كانت كل من P و Q صحيحة (True)، غير ذلك هي خاطئة (False). يمكن تلخيص ذلك في جدول حقيقة:

يسجل الجدول كل توليفة من قيم الحقيقة لكل من P و Q ثم يخبرنا عن قيمة الحقيقة المقابلة للعبارة P AND Q.

بالمثل، يتم تحديد رابطة OR بالجدول التالي:

هناك أيضا جدول حقيقة يحدد قيمة NOT P، نفي العبارة P (إذا كانت P “القطة بيضاء” ومنه NOT P هي “القطة ليست بيضاء”). ليس من المستغرب، أن تكون NOT P صحيحة عندما تكون P خاطئة والعكس بالعكس.

باستخدام جداول الحقيقة، يمكنك التعرف على قيم الحقيقة لعبارات أشد تعقيدا، مثل:

(P AND (Q OR NOT R

بالاعتماد على قيم الحقيقة لعناصر العبارة أعلاه. قمنا بملء جزء من جدول الحقيقة أدناه، ومنحك فرصة اتمام ملء الجدول.

إذا كنت قد استمتعت بفعل هذا، يمكنك أيضا تحديد الروابط المنطقية الخاصة بك باستخدام جداول الحقيقة. أو القراءة عن المنطق البولياني أو حساب القضايا.

اتمام ملء الجدول ينتج عنه الآتي:


المقال الأصلي

Maths in a minute: Truth tables

July 4, 2018

——————

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

نُشِرت في الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

الأعداد الحقيقية ومتتاليات كوشي.

ما هي الأعداد الحقيقية؟

ربما الاجابة الأكثر بديهية هي أنها جميع النقاط التي يمكنك أن تجدها على خط الأعداد. الأعداد الصحيحة، وهي أعداد حقيقية، تُشكل مجموعة من النقاط المتباعدة بشكل متساوٍ على طول الخط. يمكن ايجاد أعداد أخرى، مثل 1.4 و 0.33 بينها وعلى مسافات مناسبة.

تلك الأعداد التي لها امتداد عشري محدود (مثل 1.4=7/5) أو امتداد عشري غير محدود ينتهي إلى قيم تتكرر بشكل دوري (مثل 0.333....=1/3)، تدعى الأعداد النسبية، ويمكن كتابتها جمعيها على شكل كسور. لكن هناك أيضا الأعداد غير النسبية، مثل \pi =3.141592... و\sqrt {2} = 1.414213...، والتي لها امتدادات عشرية غير محدودة لا تنته إلى قيم تتكرر بشكل دوري ولا يمكن كتابتها على شكل كسور.

هذا يجعل الأعداد غير النسبية هشة إلى حد ما. لأن عقولنا وأدوات قياسنا محدودة، لايجاد عدد غير نسبي على خط الأعداد، علينا العمل على التقريب. على سبيل المثال، عند العمل على قيمة \pi، وبالاعتماد على مستوى الدقة المطلوب (والممكن)، قد نستخذم التقريب 3، أو 3.1 أو 3.14، أو 3.141، الخ. كلما زادت القيم العشرية التي قمت بتضمينها، كلما كانت التقريب أفضل.

الأعداد في هذه المتتالية التقريبية لها امتدادات عشرية محدودة، وبالتالي هي أعداد نسبية. لجميع الأغراض العملية، يمنحنا الامتداد العشري غير المحدود للعدد \pi متتالية من الأعداد النسبية التي تعطي قيما تقريبية أفضل وأفضل لقيمة \pi. تتقارب المتتالية نحو \pi في حدها. يمكن قول الشئ نفسه عن أي عدد غير نسبي وامتداده العشري.

وهكذا، فإن مفهوم الامتدادت العشرية ضمنيا هو طريقة أخرى للنظر إلى الأعداد الحقيقية: بدلا من تمثيلها بامتداداتها العشرية، فإننا نمثلها بمتتاليات من الأعداد النسبية التي تتقارب نحوها. وبالتالي، التخلص من الامتدادات العشرية تماما والتحول نحو المتتاليات التقريبية للعدد \pi.

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592,...

وإلى كسور. يمكننا التفكير في \pi كما هو موضح بالمتتالية

3, \frac{31}{10}, \frac{314}{100}, \frac{3141}{1000}, \frac{31415}{10000}, \frac{314159}{100000}, \frac{3141592}{1000000}...

هذا يصلح للأعداد النسبية (الكسور والأعداد الصحيحة) أيضا، على سبيل المثال، المتتالية

1,1,1,1,1,1,....

تتقارب نحو 1 وهو أمر مضحك نوعا ما… !!

متتاليات كوشي.

تدعى متتاليات كوشي نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لويس كوشي (1789-1857)

لكن، ليس كل تسلسل للأعداد النسبية يحدد عددا حقيقيا، على سبيل المثال، المتتالية

1,2,3,4,5,6,....

تؤول إلى المالانهاية ولا تحدد أي عدد حقيقي. هذا هو السبب، في طريقة التفكير الجديدة هذه حول الأعداد الحقيقية، نأخذ بعين الاعتبار فقط تلك المتتاليات التي تتقارب مفرداتها عشوائيا معا كلما آلت المتتالية إلى قيم أكبر وأكبر. على وجه الدقة، إذا قمت باعطاء أي عدد \epsilon >0 قيمة صغيرة بالقدر الذي تشاء، فستكون متأكدا أن باستطاعتك إذا قمت بالانتقال بما فيه الكفاية على طول المتتالية، أن جميع المفردات التي تتبعها هي ضمن \epsilon مع بعضها بعضا.

————————————-

أي أن متتالية a_{1},a_{2},a_{2},... من الأعداد الحقيقية تدعى متتالية كوشي، إذا كان لكل عدد حقيقي موجب \epsilon  يوجد عدد صحيح موجب N بحيث لكل الأعداد الطبيعية m, n > N

|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

————————————-

هذا النوع من المتتاليات يسمى متتاليات كوشي. إنها واقع أن كل متتالية كوشية تتقارب نحو عدد حقيقي كحد لها. ما يعني أن كل متتالية كوشية تحدد عددا حقيقيا (حدها). على العكس من ذلك، كل عدد حقيقي يتوافق مع متتالية كوشية من الأعداد النسبية التي تمثل الحد (على سبيل المثال، المتتالية التي نحصل عليها من الامتداد العشري لعدد ما، مثل \pi في المثال أعلاه، هي دائما متتالية كوشية). ومنه فإن التفكير في الأعداد الحقيقية بمفردات المتتاليات الكوشية أمر منطقي بالفعل.

لماذا نريد فعل هذا؟

هذا سؤال مشروع. من الميزات أن المتتاليات الكوشية تتكون فقط من المقادير الجميلة والودية التي نفهمها، نعني الأعداد النسبية. ربما يكون من الأسهل تصور متتالية من الأعداد النسبية تتلاحم أقرب وأقرب وتحدد عددا مثل \pi في حدها، من تجرع الامتداد العشري اللامحدود 3.141592... كاملا.

ميزة أخرى للتفكير في الأعداد الحقيقية بمفردات المتتاليات الكوشية تصبح ظاهرة عند جمع أو ضرب عددين حقيقيين. تصور، على سبيل المثال، تريد جمع \pi =3.141592... و\sqrt{2} = 1.414213.... لا يمكنك أن تفترض ققط أن nth رقم في الامتداد العشري في \pi + \sqrt {2} هو مجموع nth رقم في الامتداد العشري في \pi  و nth رقم في الامتداد العشري في \sqrt {2}. وذلك بسبب عملية النقل المزعجة. على سبيل المثال، الرقم الرابع بعد النقطة العشرية في الامتداد العشري \pi + \sqrt {2} ليس 5+2=7، لكن 8 لأنه قد تم نقل 1 من اليمين. بشكل عام، يمكن للنقل أن يتحرك مُتمَوجا عبر سلسلة ضخمة من الأرقام من اليمين إلى اليسار.

لا تتضمن متتاليات كوشي هذه المشكلة. إذا قمت بجمع (أو ضرب) مفردات nth في متتالية كوشي للعدد \pi ومفردات nth في متتالية كوشي للعدد \sqrt {2} ستحصل على nth مفردة في متالية كوشي لقيمة \pi + \sqrt {2} (أو \sqrt {2} \pi). لا عمليات نقل مطلوبة على الاطلاق. هذا قد يجعل الحسابات والحجج النظرية أسهل.

عقبة؟

مع كل هذه الدعاية لمتتالية كوشي، هناك حقيقة واحدة قمنا بقمعها حتى الآن وهي أن العدد الحقيقي يتوافق مع العديد من المتتاليات الكوشية التي تتقارب نحوه. على سبيل المثال، المتتاليتين

1,1,1,1,1,1,...

و

1/2, 2/3, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8,...

كلاهما يتقارب نحو 1

هذا أمر مزعج، لكن ليس من المستحيل التعامل معه. فنيا، صَرّح علماء الرياضيات عن كل متتاليات كوشي التي تتقارب نحو نفس الحد “المتشابهة” (هذا يؤدي إلى ما يسمى علاقة التكافؤ) ومن ثم حددوا عددا حقيقيا كفئة مكافئة لمتتاليات كوشي. قد تكون المقاربة غير عملية جزئيا. لكن بعد ذلك، يتعامل علماء الرياضيات مع مقادير غير عملية طوال الوقت.

يمكن تحديد الأعداد الحقيقية باستخدام متتاليات كوشي، من دون الاشارة إلى الامتدادات العشرية أو أي فهم مسبق آخر لها. ومن ثم تشكل الأعداد الحقيقية تتمة للأعداد النسبية. وهي ما تحصل عليه عند جمع عدد جديد لكل متتالية كوشية من الأعداد النسبية التي تتقارب إلى حد لا يٌعَد في حد ذاته عددا نسبيا.


المقال الأصلي بتصرف: The real numbers and Cauchy sequences

ترجمة: مديحة حوري.

math.nights@gmail.com

نُشِرت في نبذات عامة في الرياضيات | الوسوم: , , , , , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: شومب.

استكشف لعبة تتضمن قطع البسكويت وتُقدَم مع حيلة رياضياتية مدهشة – ما الذي يمكن أن يكون أفضل؟

شومب (Chomp: اقضم) هي لعبة بسيطة مع حيلة رياضياتية مُدهشة. القواعد هي على النحو التالي:

يتم وضع قطع البسكويت على شبكة مستطيلة. قطعة البسكويت في الجزء السفلي الأيسر مسمومة.

قطعة البسكويت في الجزء السفلي الأيسر مسمومة

يتقابل لاعبان اثنان على اللعبة – بمعنى، يتناوبان على تناول واحدة من قطع البسكويت المتبقية، بالاضافة إلى جميع قطع البسكويت أعلى القطعة المسمومة وعلى يمينها.

التحركات الممكنة في شومب

الخاسر هو اللاعب الذي يجب عليه أكل قطعة البسكويت المسمومة.

يمكننا أن نتساءل في ما إذا كان لدى أي لاعب استراتيجية فائزة، بمعنى، هل باستطاعة لاعب، قبل بدء اللعب، التأكد من الفوز؟

الجواب على هذا االتساؤل هو “نعم”. المؤكد أن لدى أحد اللاعبين استراتيجية فائزة. من السهل إدراك هذا، لأن اللعبة يجب أن تنتهي وفق عدد محدود (نهائي) من التحركات، لا يمكن التراجع عنها. في الواقع، يمكن للشخص الذي يلعب أولا أن يكون واثقا من الفوز، إذا قام بالتحركات الصحيحة. لفهم هذا، افرض أن أول لاعب (اللاعب أ) قام بأول حركة وهي قضم أعلى قطعة بسكويت على اليمين. وبالتالي سواء كانت هذه هي الحركة الأولى في استراتيجية فوز اللاعب أ، أو أن هناك ردا هو الحركة الأولى في استراتيجية فوز اللاعب ب. إذا كان هذا هو الحال، فإن اللاعب أ، إذا ما افتتح بهذه الحركة في حد ذاتها فقد ضمن الفوز.

إذا ما هي الاستراتيجية الفائزة للاعب أ؟ حسنا، هذا هو السر الذي لا يعلمه أحد، ليس بشكل عام على الأقل! البرهان على وجود استراتيجية فائزة للاعب الأول كان بسيطا جدا- لكنه لا يصف الاستراتيجية. إنه ما يدعى البرهان غير-الاستدلالي (non-constructive proof) ولم يتمكن أحد من التوصل إلى نسخة استدلالية.

بالنسبة لشبكة صغيرة بما فيه الكفاية، يمكن بالطبع للكمبيوتر أن يعمل من خلال كل التركيبات الممكنة للتحركات لايجاد استرتيجية فائزة. لكن هذا على وجه الخصوص ليس نهجا مثيرا للاهتمام. الأكثر إثارة للاهتمام هما حالتان بسيطتان يمكن وصف الاستراتيجية الفائزة فيهما: “شومب المربعة” و”شومب الرفيعة”. شومب المربعة هي شومب تُلعب على شبكة مربعة، وشومب الرفيعة هي شومب تُلعب على شبكة بعرض مربعين فقط.

تحقق مما إذا كان بامكانك العثور الاستراتيجيات الفائزة في هذه الحالات الخاصة – أو تحقق في ما إذا كنت ستتعثر.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Chomp

May 30, 2018

——————

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

 

نُشِرت في الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: بديهيات نظرية الاحتمال.

الفرصة مفهوم هش. جميعنا يعلم أن بعض الحوادث العشوائية لها احتمالية حدوث تفوق غيرها من الحوادث المؤكدة، لكن كيف يمكنك تحديد مقدار هكذا اختلافات؟ كيف تُنجز احتمال، ولنقل، دحرجة حجر النرد؟ وما الذي يعنية قول أن الاحتمال 1/6؟

يتجنب علماء الرياضيات هذه الأسئلة المخادعة عن طريق تحديد احتمال حدوث حدث رياضياتي بطريقة رياضياتية دون الدخول في معانيها العميقة. في جوهر هذا التعريف هناك ثلاث شروط، تُدعى بديهيات نظرية الاحتمال.

  • البديهية 1: احتمال حدوث حدث ما، هو عدد حقيقي أكبر من أو يساوي 0.
  • البديهية 2: احتمال حدوث حدث ما، مرة واحدة على الأقل من جميع النتائج المحتملة في عملية ما (مثل دحرجة حجر النرد) هو 1.
  • البديهية 3: إذا كان حدثان A و B متنافيان فيما بينهما (منفصلان)، فإن احتمال حدوث A أو B هو مجموع احتمال حدوث A واحتمال حدوث B.

وكما أوضحناها هنا، فإن هذه البديهيات هي نسخة مبسطة من تلك التي وضعها عالم الرياضيات أندريه كولموغوروف في عام 1933. وحتى ذلك الحين، كانت المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمال “تعتبر غير مألوفة تماما” (كلمات كولموغوروف) لذلك كان هدفه هو وضعها في “مكانها الطبيعي، بين المفاهيم العامة للرياضيات الحديثة”. ولتحقيق هذه الغاية، أعطى كولموغوروف أيضا تعريفا رياضياتيا دقيقا (من حيث المجموعات) لما يُقصد بــ “الحدث العشوائي”. لقد تجنبنا الإشارة لهذا عند ذكر البديهيات أعلاه. لكن يمكنك القراءة عنه في نص كولموغوروف الأصلي “أسس نظرية الاحتمال“.

وضع كولموغوروف، ببديهياته، الاحتمال في السياق الأوسع لنظرية القياس. عندما تقوم بقياس شئ ما (مثل الطول أو المساحة أو الحجم) فإنك تقوم بتعيين عدد ما من صنف ما من مقدار رياضياتي (قطعة مستقيمة، شكل ثنائي الأبعاد، أو شكل ثلاثي الأبعاد). بطريقة مماثلة، الاحتمال هو أيضا طريقة لتعيين عدد ما من مقدار رياضياتي (مجموعة حوادث). صياغة كولموغوروف تعني أن النظرية الرياضياتية للقياسات يمكن أن تحتوي نظرية الاحتمال كحالة خاصة.

إذا كنت معتادا على الاحتمال، فإنك قد تشعر أن هناك فكرتين مركزيتين للنظرية مفقودتين في البديهيات المذكورة أعلاه. أحدهما فكرة أن مجموع احتمال، جميع النتائج المحتملة المتنافية فيما بينها لعملية ما، هو 1. والأخرى هو فكرة مفهوم الحوادث المستقلة.

الأولى هي ببساطة نتيجة للبديهيات. لنفرض أن بعض العمليات (دحرجة حجر النرد) يمكن أن تُنتج عددا من الحوادث الأولية المتنافية فيما بينها (دحرجة 1، 2، 3، 4، 5، أو 6). ثم من خلال البديهية 2، فإن احتمال حدوث حدث منها، مرة واحدة على الأقل هو 1. تشير البديهية 3 إلى أن احتمال أن تحدث على الأقل واحدة منها، هو مجموع الاحتمالات الفردية للحوادث الأولية. بمعنى آخر، فإن مجموع الاحتمالات الفردية للحوادث الأولية هو 1.

بالانتقال إلى الميزة المفقودة الثانية، لاحظ أن مفهوم الاستقلال لا ينطبق على مستوى الحوادث التي يمكن أن تنتج عن عملية واحدة (مثل دحرجة النرد)، لكن على مستوى العمليات: نحن في حاجة إلى أن نُصَرح بما نعنينه بقولنا عمليتين (مثل دحرجة النرد مرتين) مستقلتين. بعد تحديد دقيق لما نعنيه بــ”عمليتين” رياضياتيا، يُقدم كولموغوروف التعريف المعتاد للاستقلال. إنه يُعادل القول أن، حدثين مستقلين إذا كان احتمال حدوثهما مُساويا لجداء احتمال كل منهما.


المقال الأصلي

Maths in a minute: The axioms of probability theory

 May 10, 2018

——————

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

نُشِرت في الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , | أضف تعليق

ملخص مساق [المزيد من المرح مع الأعداد الأولية].pdf

رابط التحميل: هــنــا

قراءة ممتعة للجميع

لا تنسونا من صالح الدعاء


المحتوى

…………………….

نُشِرت في في فهم الأعداد الأولية, إصداراتي مما ترجمته | الوسوم: , , , , , , , , , , , , , , , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: الرسوم البيانية وصيغة مجموع الدرجات

العد المزدوج يُبرهن كما يثبت نتيجة أنيقة في نظرية الرسم البياني.

في الرياضيات، الرسم البياني هو ما قد نُسَميه عادة شبكة. يتألف من مجموعة من العُقد، تدعى الرؤوس، متصلة بروابط، تسمى الحواف. درجة الرأس هي عدد الحواف المرفقة به. صيغة مجموع الدرجات تخبرنا أنه إذا قمت بجمع درجة جميع الرؤوس في رسم بياني (منته)، فإن النتيجة هي ضعف عدد الحواف في الرسم البياني.

هذا مثال عن رسم بياني

هناك طريقة أنيقة للبرهان وإثبات هذه النتيجة، والتي تتضمن العد المزدوج: أن تقوم بحساب نفس المقدار بطريقتين مختلفتين فتُعطيك صيغتين مختلفتين. وعلى اعتبار أن كلا الصيغتين تحسبان نفس الشئ، فستستنتج أنهما يجب أن يكونا متساويين.

إن الكمية التي نحسبها هي عدد أزواج الحوادث (v, e) حيث v هي الرأس و e هي الحافة المرفقة بها. عدد الحواف المتصلة برأس منفرد v هو درجة v. وبالتالي، فإن مجموع جميع درجات الرؤوس في الرسم البياني يساوي العدد الإجمالي لأزواج الحوادث (v, e) التي أردنا حسابها.

بالنسبة للطريقة الثانية لحساب أزواج الحوادث، لاحظ أن كل حافة مرفقة برأسين. وبالتالي فإن العدد الإجمالي للأزواج (v, e) هو ضعف عدد الحواف. في الختام، مجموع الدرجات يساوي العدد الإجمالي لأزواج الحوادث يساوي ضعف عدد الحواف. اكتمل البرهان.

(عند هذه النقطة قد تتساءل عما يحدث إذا كان الرسم البياني يتضمن حلقات، أي الحواف التي تبدأ وتنتهي عند نفس الرأس. البرهان يتناسب مع هذه الحالة أيضا. يُترك الأمر لك لمعرفته).

يمكنك معرفة المزيد عن نظرية الرسوم البيانية في مقالات المجلة من هنا.


المقال الأصلي

Maths in a minute: Graphs and the degree sum formula

——————

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

نُشِرت في الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق