الرياضيات في دقيقة: الجبر البولياني

A AND B..

في كل مرة تستخدم فيها الكمبيوتر، أنت تعتمد على المنطق البولياني: نظام منطق تأسس قبل فترة طويلة من انتشار أجهزة الكمبيوتر، اشتق اسمه من اسم عالم الرياضيات الانجليزي جورج بول (1815-1864). في عبارات المنطق البولياني يمكن أن تكون إما صحيحا أو خاطئا  (على سبيل المثال. في الوقت الراهن “أريد فنجانا من الشاي” هي عبارة خاطئة، لكن “أريد قطعة من الكعك” هي دائما صحيحة)، ويمكنك مرادفة هذه معا باستخدام الكلمات وَ(AND)، أو(OR)، ليس(NOT). لتحديد ما إذا كانت هذه العبارات المركبة صحيحة أو خاطئة، يُمكنك إنشاء ما يُدعى جدول الحقيقة، حيث قم بتسجيل جميع القيم الممكنة التي قد تتخذها العبارات الأساسية، ومن ثَمَ جميع القيم المُناظرة التي قد تتخذها العبارات المركبة (يمكنك قراءة المزيد عن جورج بول والعالم الرائع لـ0s و1s من هــنــا)

جداول الحقيقة مفيدة للعبارات المنطقية البسيطة، لكن سرعان ما أصبح مُضجرا وعُرضَة للخطأ من أجل العبارات الأكثر تركيبا وتعقيدا. أتى بول بالغوث عن طريق تصريح ابداعي يفيد بأن العمليات المنطقية الثنائية تتصرف بطريقة مُلفتة للنظر، مماثلة لعملياتنا الحسابية العادية، مع انحرافات قليلة.

في هذا النوع الجديد من الحساب (يُدعى الجبر البولياني) المتغيرات هي عبارات منطقية (فضفضة، جُمل إما صحيحة أو خاطئة). يُمكن أن تتخذ قيمتين اثنين فقط، يمكننا أن نكتب0 للعبارة التي نعلم أنها خاطئة و1 للعبارة التي نعلم أنها صحيحة. ثم يمكننا استنساخ أو(OR) كنوع من الإضافة باستخدام 0s و1s فقط

0+0=0 (بما أن “خاطئة أو خاطئة” هي خاطئة)

0+1=1+0=1 ( بما أن “صحيحة أو خاطئة” و “خاطئة أو صحيحة” هما على حد سواء صحيحة)

1+1=1 (بما أن “صحيحة أو صحيحة” هي صحيحة)

يمكننا أن نستنسخ وَ(AND) كنوع من الضرب:

0\times 1=1\times 0=0 (بما أن “خاطئة وَ صحيحة” و”صحيحة وَ خاطئة”  هما على حد سواء خاطئة)

0\times 0=0 (بما أن “خاطئة وَ خاطئة” هي خاطئة)

1\times 1=1 (بما أن “صحيحة وَ صحيحة” هي صحيحة)

بما أن المتغيرات يمكنها أن تأخذ القيم 0 و 1 فقط، يمكننا تعريف العملية ليس(NOT) كمتممة، تأخذ العدد إلى نقيض (مُعاكس) قيمته:

إذا كانتA=1، إذن{A}'=0

إذا كانتA=0، إذن{A}'=1

(بما أن “صحيحة أو خاطئة” هي صحيحة)A+{A}'=1

(بما أن “صحيحة وَ خاطئة” هي خاطئة)A\times{A}'=0

 نسختنا الجديدة عن هذه العمليات هي مماثلة في العديد من النواحي لمفاهيمنا المألوفة أكثر عن الجمع والضرب لكن مع وجود القليل من الاختلافات الرئيسية. أجزاء من المعادلات يمكن أن تختفي بسهولة في الجبر البولياني، الأمر الذي قد يكون عمليا جدا، على سبيل المثال، المتغيرB في

A+A\times B

غير متصل بالمعادلة، مهما كانت قيمةB أو العبارة المنطقية التي يمثلها، هذا بسبب أنه إذا كانتA صحيحة (أو تكافئ A=1) إذن A أو (A وَ B) هي صحيحة، بغض النظر عما إذا كانتB صحيحة أو خاطئة. وإذا كانتA خاطئة (أي أن، A=0) إذن(A وَ B)  هي خاطئة، بعض النظر عن قيمة B، ومنهA أو (A وَ B) هي خاطئة. وبالتالي الجبر البولياني يوفر لنا إخفاءا للعمل: العبارةA+A\times B مُساوية للصيغة البسيطةA :

A+A\times B=A

أيضا، في الجبر البولياني هناك نوع الازدواجية العكسية بين الجمع والضرب:

{(A+B)}'={A}'\times {B}' و{(A\times B)}'={A}'+ {B}'

تُعرف هاتين المساوتين باسم قوانين دي مورغان، من عالم الرياضيات البريطاني اوغسطس دي مورغان (1806-1871). (يُمكنك التأكد بنفسك أنها صحيحة باستخدام ما يوافقها في جدول الحقيقة)

هذه مجرد حيلتين من حيل الجبر البولياني التي أخذت على عاتقها مهمة تبسيط العبارات المنطقية المعقدة – شكرا لك جورج !

—————————

المقال الأصلي

Maths in a minute: Boolean algebra

April 28, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في ترجمة وكلماته الدلالية , , . حفظ الرابط الثابت.

3 Responses to الرياضيات في دقيقة: الجبر البولياني

  1. التنبيهات: الرياضيات في دقيقة: تبسيط الدارات – فِي سِتَّةِ أَيَّامٍ

  2. التنبيهات: الرياضيات في دقيقة: تبسيط الدارات | ليالي الرياضيات

  3. التنبيهات: الرياضيات في دقيقة: تبسيط الدارات | فِي سِتَّةِ أَيَّامٍ

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s